引言
将地球的球面展为平面，也就是将地球上的点一一画在平面上，需要用地理坐标，直角坐标和极坐标来表示，我们要采用一定的数学方法来确定这些坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间对应关系的数学方法称为地图投影。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬网形状并不完全相似。本文基于投影过程中产生的变化来进行全面的探讨和研究。
1.地图投影的概念
地球表面是球面，而地图通常是绘制在平面图纸上，因此制图时首先需要把球面展为平面。但是球面是个不可展的球面，这就是说，若把它直接展为平面，必然发生破裂或褶皱。所以必须采用特殊的方式将球面展开，使其成为既不破裂又无褶皱的平面。
在我们学习测量的时候，已经知道，测图时只要测出点位，点可以连成线，线可以连成面，就能画出平面图。那么，将球面展为平面，也就是将地球上的点一一画在平面上。由于地球表面上任一点的位置是用地理坐标来表示的，而平面上点的位置用直角坐标或极坐标表示。因此就要采用一定的数学方法来确定这些坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间对应关系的数学方法称为地图投影。
因为地球表面上任一点的位置决定于它的经纬度，所以实际投影时是将球面上的经纬线交点展绘在平面上，再将相同经度的连成经线，相同纬度的连成纬线，有了经纬网以后，就能将整个或部分地球表面上的图形按相应位置表示在平面上了。由此看来，经纬网是绘制地图的基础，它是地图的主要数学要素。
2.地图投影的变形
2.1变形的概念
地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬网形状是不同的。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬网形状并不完全相似。为了制作地图，需要将地球体这个不可展的曲面展为平面，从而不可避免的造成破裂或重叠，为了使地物和地貌完整，需将裂开的部分均匀拉伸，重叠的部分均匀压缩。由于进行了拉伸和压缩，地图在长度、面积和形状上发生了变化，这种变化就是投影变形。
2.2变形的表现
地图投影的变形究竟表现在哪些方面？我们把地图上的经纬线网和地球仪上的经纬线网进行比较，会发现表现在三个方面：长度、面积和角度。
2.2.1变形椭圆
地图投影上的变形，是随着地点和方向的改变而变化的，当我们拿到一幅地图时，很难笼统的说这幅地图有什么变形，变形有多大，为此，我们来采用底索的图解法——变形椭圆，来阐明作为投影变换结果各点上产生的角度和面积变形的概念。[
变形椭圆所依据的是比例系数a和b。在地球仪地图的任何一点上，每个方向比例系数都相同；因此无论何处比例系数SF=a=b=1.0。为了显示发生的变化，底索用半径1.0的小圆表示一个点。在任何变换方法中，量值a和b一般会大于或小于1.0。正形投影a=b≠1.0但是在所有其它投影中，a≠b。在这些情况下，指示圆变成椭圆，它是由长半径a和短半径b给定的。
2.2.2长度变形
在地球仪上，经纬线的长度具有下列特点，第一，各纬线长度不同，赤道最长，纬度越高纬线越短，极地纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；第三，所有的经线长度相等，同一条经线上，纬差相同的经线弧长相同。
地图上的经纬线长度是怎样的呢？
由图（1）可以看出各纬线长度相等，各经线长度也相等。这表明各纬线不是按同一比例缩小的，而经线却是按同一比例缩小的。再由图（3）可以看出，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长不等，中央的一条经线最短，从中央向两边经线逐渐增长。这个图形说明在同一条纬线上，由于经差的不同，比例发生了变化，从中央向两边比例逐渐变小；各条经线不是按同一比例缩小的，它们的变化，是从中央向两边比例逐渐增大。
根据上述可知，地图上的经纬线长度和地球仪上经纬线长度不完全相似，表明地图上具有长度变形。
长度变形是衡量投影变形大小的一个数量指标，要根据长度比来计算。长度比是投影面上一微小线段ds'和球面上的微小线段ds之比。设以μ表示长度比，则μ=ds'/ds
通常在研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而是研究其中一些特定方向的长度比，即最大长度比（以a表示），最小长度比（以b表示），经线长度比（以m表示）和纬线长度比（以n表示）。地图上经纬线呈直角相交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比，经纬线不直交者，设其夹角为θ，则经线长度比m、n与最大、最小长度比a、b之间具有下列关系：
m2＋n2=a2＋b2
mnSinθ=ab
长度变形是长度比与1之差，用Vμ表示长度变形，则
Vμ=（ds'－ds）/ds=ds′/ds－1=μ－1
如果知道某一点任一方向的长度比，则按上式可以求出长度变形。长度比只有大于1或小于1的数（个别地方等于1），没有负数。而长度变形有正有负。长度变形为正，表示长度增长，长度变形为负，表示长度缩短。
这里要说明一下，长度比和长度比例尺是不一样的。长度比是个相对数量，长度比例尺是个绝对数量。在绘制地图上的经纬线网时，首先把地球椭圆体按规定的比例尺缩小，然后采用一定的投影方法把它画在平面图纸上，这个比例尺称为主比例尺。即一般地图上所注明的比例尺。由于地图投影产生变形，主比例尺仅能被保持在某些点或线上，其余地方或是大于或是小于主比例尺。
2.2.3面积变形
在地球仪上，同一纬度带内经差相同的梯形网格面积相等；同一经度带内纬度越高，梯形面积越小。而在地图上呢？由图（1）可以看出，同一经度带内纬差相同的网格面积相等，这表明面积不是按照同一比例缩小的，纬度越高，面积比例越大；在图（3）上，同一纬度带内经差相同的网格面积不等，这说明面积比例随经度的变化而变化了。
由于地图上经纬线网格的面积与地球上的不同，表明地图上具有面积变形。面积变形因投影不同而异。在同一投影上，面积变形因地点而变。
面积变形也是衡量投影变形大小的一个数量指标，要根据面积比来计算。面积比是投影面上微小椭圆面积dF′与球面上的微小圆面积（已按规定比例尺缩小）dF之比，以P表示面积，则P=dF′/dF
设微小圆半径为r，其面积dF=πr2，微小椭圆面积dF′=πabr2，则
P=dF′/dF=πabr2/πr2=ab 或P=mnSinθ
面积变形是面积比与1之差。用Vp表示面积变形，则
Vp=(dF′－dF)/dF=dF′/dF－1=P－1
如果知道了某点的面积比，就可以计算出该点的面积变形。
面积比也是个相对数量，只有大于1或小于1的数（个别地方等于1），没有负数。面积变形则有正有负。面积变形为正，表示面积增大，面积变形为负，表示面积减小。
2.2.4角度变形
角度变形是指地图上两条线所夹的角度，不等于球面上相应的角度。例如在图（2）、（3）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不成直角相交。而在地球仪上，经线和纬线处处都直角相交，这表明地图上有角度变形。角度变形因投影而异，在同一投影上，角度变形因地点和方向而变。
投影面上两方向间的夹角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
在地球表面的任何地方（两极除外），罗盘面指示的都相同，也就是说，在每一点上，主方向线总是相距90°，且无论在何处插入一些方向线，其中每条方向线和主方向线构成相同角度。
在地图投影中，可以在某种程度上保持角度关系的这种性质。保持这种角度关系的地图投影叫做正形投影，意指“形状是正确的”。重要的是，应当理解正形这一术语是用于表示在每一点上保持方向和角度正确。根据定义，在球面或地球仪地图上，每一点的每个方向上的比例系数均为1.0。在任何投影变换中必然产生某种变形。从一点到另一点比例系数必然改变，然而，可以通过拉伸和压缩使正形投影的每一点上a=b，但ab不一定等于1.0。
3.变形的分析与表达
在变形的大小和分布方面，将一种投影与另一种投影进行比较，有几种方法可供采用。有的是全图解法，有的只提供变形大小和位置的直观表象。一般使用较多的方法是定量的计算2ω和S。
对所有正形投影来说，在投影平面上到处皆为a=b。当a=b时，2ω的数值为0°。由于正形投影各点上没有角度变形，且因由一处到另一处a和b的数值是变化的，所以ab的乘积（即S）从一处到另一处也应不同。因此，所有正形投影都相对的夸大或缩小面积，并且以各点上的S值提供面积变形程度的指标。
对于等积投影来说，每个点上比例尺关系是ab的乘积总是等于1.0。a和b之间的任何差值，都会使2ω数值大于0°。因此，所有等积投影都会产生角度变形，各点上2ω的值是反映角度变形程度的指标。
对于所有既非正形也非等积的投影来说，a不等于b，ab的乘积也不等于1.0。所以在这种投影上，S和2ω两者的数值从一处到另一处均有变化。
结语：了解地图投影变形的表现，有助于我们熟悉地图投影的特性，提高地图绘制过程中的精确度，是地图投影应用实践环节中很重要的一步，具有重要的意义。